Определение предела через эпсилон дельта

Определение предела через эпсилон дельта

Тема 1. Предел функции

Раздел: Предел и непрерывность функции

Допустим, что функция определена в некоторой области . Будем рассматривать понятие предела функции в точке .

Можно дать определение функции в точке по Гейне (см. конспект1-го курса) и по Коши.

Определение 1 (по Гейне). Число называется пределом функции в точке , если функция определена в некоторой окрестности точки (за исключением, может быть, самой точки ), и для всякой последовательности из окрестности и , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу , т.е. .

.

Определение 2 (по Коши).Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для всех таких , что

(1)

. (2)

Заметим, что число выбирается как «своё» (по значению) для каждой точки и для каждого , т.е. .

Первое определение называется также определением предела функции «на языке последовательностей», а второе – определением предела «на языке » (эпсилон-дельта).

Определение 2 можно дать в геометрической форме. Используя свойство модуля неравенство (1) можно записать в виде

, т.е.

,

.

Аналогично из (2) .

Определение 3 (геометрическая форма определения Коши). Число А – предел функции в точке , если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для всякой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки такая, что как только аргумент принадлежит этой проколотой окрестности, то значение функции принадлежит окрестности точки А.

Дадим графическую иллюстрацию этого определения.

Для того, чтобы доказать графически, что число А является пределом функции в точке , необходимо выбрать произвольную окрестность точки А, т.е. интервал с центром в точке А длины , который лежит на оси . Для каждого произвольного интервала доказать, что существует интервал точки на оси , что как только рассматривает аргументы из этого интервала, то соответствующие значения функции попадают в интервал точки А.

Можно доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

Не всякая функция имеет предел в точке. Например, функция в точке предела не имеет. В этой точке он неопределен вообще. Не имеет предела в точке функция . По определению предела это должно быть число. Функция при не стремится к конечному числу.

Т.о. относительно предела функции в точке возможны следующие случаи:

I.Функция имеет предел в точке. Это число.

II. Функция не имеет предела в точке:

1)она является бесконечно большой в этой точке, и хотя предела в этом случае нет, записывают

Читайте также:  Успех запроса на настройку голос

.

2)Предел не определен вообще и не ясно, к чему стремится функция в данной точке.

Кроме определения предела в точке рассматривают предел функции на бесконечности, т.е. при . В этом случае окрестностью называется множество точек . Относительно предела функции на бесконечности возможны следующие случаи:

I. Предел существует, и это число (рис. 1);

II. Предел не существует:

1) , т.е. функция является бесконечно большой, и записывают (рис.2);

2) предел неопределен вообще (рис. 3).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8860 — | 8378 — или читать все.

Первое определение предела функции (по Гейне)

Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x , на которой функция определена;
2) для любой последовательности < xn > , сходящейся к x :
, элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность < f ( xn )> сходится к a :
.

Здесь x и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Второе определение предела функции (по Коши)

Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x , на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δε — окрестности точки x :
,
значения функции f ( x ) принадлежат ε — окрестности точки a :
.

Точки x и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей
Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x , на которой функция определена;
2) для любой окрестности U ( a ) точки a существует такая проколотая окрестность точки x , что для всех x , принадлежащих проколотой окрестности точки x :
,
значения функции f ( x ) принадлежат окрестности U ( a ) точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, и оно часто используется при доказательстве теорем. Первое определение, в математическом смысле, проще. Его удобно применять в вычислениях.

Читайте также:  Что можно написать на pascal

Более подробно определение Коши для конечных точек рассматривается на странице «Определение предела функции в конечной точке»; для бесконечно удаленных точек – на странице «Определение предела функции на бесконечности».

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f ( x ) определена на некоторой проколотой окрестности точки x . Точки a и x могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне.
Число a не является пределом функции f ( x ) в точке x : ,
если существует такая последовательность < xn > , сходящаяся к x :
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность < f ( xn )> не сходится к a :
.
.

По Коши.
Число a не является пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если существует такое положительное число ε > 0 , так что для любого положительного числа δ > 0 , существует такое x , принадлежащее проколотой δ — окрестности точки x :
,
что значение функции f ( x ) не принадлежит ε — окрестности точки a :
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у нее не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a . Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0 : . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0 : . Но поскольку , то .
Тогда предел не может равняться никакому числу a . Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , с которой .

Читайте также:  Как убрать режим стробоскопа в фонарике

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел
(1) ,
предел последовательности равен a :
(2) .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n – натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a . Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3) для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-04-2018 Изменено: 31-03-2019

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

В учебном пособии изложены основы теории числовых последовательностей и операций над ними, начала математического анализа, теоретические основы дифференциального исчисления. Приведены подробные решения задач и задачи для самостоятельной работы. Представлены основные обозначения и формулы, необходимые для решения задач. Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 "Строительство" всех форм обучения. Подготовлено кафедрой высшей математики УГТУ-УПИ.

Ссылка на основную публикацию
Операции сложения и умножения событий обладают свойством
1.4. Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То,...
Обзор монокуляров с алиэкспресс
Монокуляры активно применяются на охоте, во время путешествий, наблюдения за птицами и животными, при просмотре спортивных соревнований и в военных...
Область определения функции корень кубический из х
РЕШЕНИЕ:Корень 3 степени может извлекаться как из положительных чисел и 0, так и из отрицательных чисел Корень третьей степени можно...
Определение предела через эпсилон дельта
Тема 1. Предел функции Раздел: Предел и непрерывность функции Допустим, что функция определена в некоторой области . Будем рассматривать понятие...
Adblock detector