Нулевая матрица может быть эквивалентной ненулевой матрице

Нулевая матрица может быть эквивалентной ненулевой матрице

Пусть А (mxn), B(p,q). При каких условиях на m,n,p,q существуют произведения этих матриц?

Произведением матриц и называется матрица , элементы которой определены равенством

Произведение матриц и будем обозначать .

Из определения следует, что произведение определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы . Это означает, что оба произведения и определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры и соответственно. Следовательно равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

, тогда

.

Следовательно .

Может ли произведение 2х ненулевых матриц равняться нулевой?

Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А ∙ В =0, не следует, что А=0, или B=0. Например,

Ф-лы сокращенного умножения для матриц.

(Распределительное свойство относительно сложения матриц);

(Распределительное свойство относительно сложения чисел);

.

Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

(Свойство ассоциативности),

, для любого действительного числа α,

, (Свойство дистрибутивности)

Определение линейно зависимых строк (столбцов) матрицы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу)

Определение линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Ранг прямоугольной матрицы.

Ранг столбца (или строки) прямоугольной матрицы чисел равно числу линейно независимых столбцов (или строк) элементов матрицы. Если не существует зависимых столбцов, то ранг матрицы равен числу всех столбцов, и говорят, что матрица имеет полный ранг. Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то говорят, что матрица имеет неполный ранг, и она называется вырожденной.

Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Формулы Крамера

Ф-ла для обратной матрицы в общем виде.

Теорема о существовании обратной матрицы.

Матрица называется обратной к матрице , если , где — единичная матрица. Матрица , для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Так как равенство возможно лишь для квадратных матриц одинакового размера, то обратимой может быть лишь квадратная матрица. Однако, не каждая квадратная матрица обратима.

Критерий обратимости

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.

Квадратная матрица называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

12. Сформулировать условие сеществования и единственности решения СЛАУ:Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

13. Сформулировать теорему об определителях треугольной и диагональной матриц:Определитель любой верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель любой диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

14. Сформулировать теорему об определителе произведения матриц:Определитель произведения квадратных матриц и равен произведению определителей матриц-сомножителей, т.е.

15. Определить операции с векторами (сумма, разность, произведение вектора на число) и указать их свойства:Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора Правило сложения векторов обладает следующими свойствами:1. (Коммутативностьсложения)2. (Ассоциативность сложения)3.Существует нулевой вектор , такой что для любого вектора . 4.Для любого вектора существует противоположный к нему вектор , такой, что . Разностью векторов и называется такой вектор , что . Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное направлению в случае . В случае, когда , или произведение представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: ; 2. 3.

16. Дать инвариантное определение скалярного произведения двух векторов:Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла �� между ними.

17. Написать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов в декартовой С.К.:

Элементы линейной алгебры

Матрицы

Матрицей А размера m´n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений aij , i = 1, 2, . , m; j = 1, 2, . , n:


где aij элементы матрицы, причем индекс i в элементе aij означает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Читайте также:  Произошла ошибка попробуйте снова twitch

Квадратнойматрицей n-го порядка называется матрица размера nxn.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами i¹j ) равны нулю.

Единичной (Е) называется диагональная матрица со всеми единицами на главной диагонали.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Операции над матрицами


Суммаматриц А = (aij) и В = (bij) одинакового размера есть матрица С= (сij) того же размера ( A + B = C ), причем cij = аij + bij" i,j.

Произведениемматрицы А = (aij) на число l называется матрица С= (сij) того же размера, что и матрица А ( lA = C ), причем сij =laij " i,j .

Разность матриц А = (aij) и В = (bij) одинакового размера определяется как сумма матрицы А и умноженной на –1 матрицы В ( С =A — B = A + (-1)B ), т.е. cij = аij — bij" i,j.

Задание для самоконтроля: Найти линейную комбинацию матриц

1) 2А + 3В, где А = , В = . 2) АλЕ, где А = .
Произведением АВ
матриц А и В (размером mxn и nxr соответственно) называется

матрица Сразмера mxr, такая что

Т.о. каждый элемент сij матрицы С равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Другими словами, чтобы найти элемент сij нужно умножить элементы i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.


Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом, если размеры матриц А и В mxn и nxr соответственно, то размер матрицы С будет mxr: ( [mxn] ×[nxr] = [mxr] ).

Задание для самоконтроля:

1) Найти (если возможно) произведение матриц: 1) , 2) .

2)Найти значение матричного многочлена f (A), если: f (х) = -2х 2 + 5х + 9, А = .

В общем случае АВ ¹ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими).

Задание для самоконтроля:

1) Проверить, коммутируют ли матрицы: 1) , 2) .

Транспонированной к матрицеА = (aij)называется матрица А Т такая, что aij Т = aji, т.е. все строки матрицы А Т равны соответствующим столбцам матрицы А.

Задание для самоконтроля:

1) Транспонировать матрицы: 1) , 2) , 3) .

Ступенчатая матрица (на примерах):

Элементарными преобразованиями матрицыназываются следующие операции:

1. Перестановка местами двух строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Добавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А ( В

Задание для самоконтроля:

Привести к ступенчатому виду матрицы: 1) 2) 3) .

Контрольные вопросы:

  1. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?
  2. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?
  3. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?
  4. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей?
  5. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?
  6. Могут ли совпадать матрицы А и А Т ?
  7. Как выглядит матрица (А Т ) Т ?
  8. Верно ли равенство (А + В) Т = А Т + В Т ?
  9. Верно ли равенство (А + Е) (АЕ) = А 2 – Е?
  10. Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? столбцов?
  11. Может ли нулевая матрица быть эквивалентной ненулевой матрице?

О нулевая матрица, нулевой вектор, 23 [c.486]

При первом чтении этот материал может быть опущен. Е — единичная матрица п-го порядка 0 — нулевой вектор размера я. [c.86]

Система линейных однородных уравнений, т. е. система АХ — О с нулевыми свободными членами, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда матрица А — вырожденная, т. е. А = 0. [c.269]

Записи 1 в У-М столбце матрицы М соответствуют информационным элементам dt, которые необходимы для получения значений элементов d. и образуют множество элементов предшествования A ( d.) для этого элемента. Записи 1 в /-и строке матрицы М соответствуют всем элементам d ., достижимым из рассматриваемого элемента d. и образующим множество достижимости R ( d.) этого элемента. Информационные элементы, строки которых в матрице М не содержат единиц (нулевые строки), являются выходными информационными элементами, а информационные элементы, соответствующие нулевым столбцам матрицы М, являются входными. Это условие может служить проверкой правильности заполнения матриц В и М, если наборы входных и выходных информационных элементов известны. Информационные элементы, не имеющие нулевой строки или столбца, являются промежуточными. [c.139]

Читайте также:  Как узнать ip диапазон соседей

Поэтому, проверяя, найдется ли решение системы при изменении од в таких узлах, мы можем потребовать выполнения еще каких-нибудь полезных для системы условий и наложить на такие узлы дополнительные зависимости, например пропорциональное изменение, что, как уже отмечалось, соответствует для этих узлов поддержанию равенства относительных запасов у потребителей и относительных свободных емкостей у поставщиков. Если же, пройдя весь диапазон нулевых рисков, мы не сумели обратить в нуль определитель расширенной матрицы, выйдем за пределы нулевых рисков и продолжим поиск такого режима, при котором возможно решение системы (15), как это делалось на шаге 5 для унимодальных рисков. [c.134]

Подведем итог. Допустим, RFR для вашего портфеля не равно 0, и необходимо найти геометрический оптимальный портфель, не рассчитывая ограниченный касательный портфель для этого RFR. Можете ли вы перейти прямо к матрице, установить сумму весов на какое-либо произвольно высокое значение, добавить NI и найти неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше О Да, если вычесть RFR из ожидаемых прибылей каждого компонента, но не из NI (т.е. ожидаемая прибыль для NI остается нулевой, что соответствует среднему арифметическому HPR= 1,00). Теперь, решив матрицу, мы получим неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше 0. [c.221]

Главные компоненты оказываются удобным инструментом и для восстановления пропусков во входных данных. Действительно, метод главных компонент дает наилучшее линейное приближение входных данных меньшим числом компонент — w (Здесь мы, как и прежде, для учета постоянного члена включаем фиктивную нулевую компоненту входов, всегда равную единице — см. Рисунок 5, где справа показана нейросетевая интерпретация метода главных компонент. Таким образом, w — это матрица размерности V x(t/ + l)). Восстановленные по [c.135]

Матрица С разбивается на подматрицы С0 и s, причем С0 содержит коэффициенты в выражении для линейной формы при нулевых переменных, a s — для остальных (базисных) переменных [c.74]

Затем составляется матрица переходов, в которую заносят количество перемещений работников между позициями (с учетом ухода и нулевого перемещения) [c.141]

Нулевые элементы Zx, Z2,. . Zk квадратной матрицы Сбудем называть независимыми нулями, если для любого 1 0 — положительная матрица, х >О — неотрицательный нулевой вектор. Рассмотрим произведение Ах. Пусть (Ax)i— i-я координата вектора Ах. Тогда [c.263]

Итак, рассмотрим И. с нулевой суммой. Выигрыш каждого игрока зависит от того, какие стратегии выбрал и он, и его противник. Считается, что значение каждого возможного выигрыша известно, и все они сводятся в таблицу (матрицу игры), где по строкам размещаются стратегии игрока X, а по столбцам — стратегии игрока Y (см. табл. к ст. "Матрица игры"). Элемент U.. этой таблицы обозначает выигрыш X и проигрыш Y при выборе первым из них стратегии х., вторым — v. Смысл И. — в нахождении оптимальной стратегии, т.е. такой, которая при многократном повторении И. обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш). [c.111]

НУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ МОБ [c.231]

Нулевые элементы матрицы МОБ 231, 427 [c.477]

Указание. Для того, чтобы вычислить Р2, нажмите на клавиатуре клавиши . Матрица Р не имеет обратной, потому что вычисленное значение определителя матрицы Р с точностью до погрешностей округления равно нулю. Матрицы с нулевым определителем не имеют обратных. [c.62]

Матрица евклидовых расстояний D служит основой агломера-тивно-иерархического метода классификации, который заключается в последовательном объединении группируемых объектов -сначала самых близких, а затем все более удаленных друг от друга. Процедура классификации состоит из последовательных шагов, на каждом из которых производится объединение двух ближайших групп объектов (кластеров). На нулевом шаге каждый [c.140]

Так как коэффициенты при Ь и Ь имеют разные знаки, то в случае, когда определитель расширенной матрицы системы А (и) при всех bkt и bk,, равных нулю, имеет знак, противоположный знаку коэффициентов при А,, увеличение , и уменьшение bk, вызовут уменьшение модуля определителя расширенной матрицы. Если же определитель расширенной матрицы системы при всех нулевых значениях Ьн имеет знак, совпадающий со знаком коэффициентов bklt уменьшение Ь/ц [c.146]

Читайте также:  Маркировка стиральных машин candy

Если учитывать предположения (3) и (6), то следует вве- сти ограничения на целочисленные переменные г и ko, задаваемые соответствующими матрицами Ik F ll и llf o VII, нулевые. значения которых определяют недопустимые решения. [c.146]

Шаг2. Для матрицы Г строим пониженную матрицу T=(t p) t полагая Гср = ср — ис — vp. Очевидно, в матрице Т в каждой строчке, так же как и в каждом столбце, есть нулевой элемент. [c.83]

На четвертом этапе производилась оценка доходности по каждому из этих 68 факторов и разрабатывались прогнозы для нефакторных рисков. Исходя из данных по доходности в пространстве оценок модели, для каждого месяца в пределах пробного временного интервала BARRA эффективно оценила доходности 68 портфелей, каждый из которых имел единичную чувствительность по отношению к некоторому конкретному фактору и нулевые чувствительности относительно остальных 67 факторов. Доходности таких портфелей представляли месячные доходности по соответствующим факторам. На этом этапе была построена модельдля предсказания нефакторного риска, позволяюшая вычислить ковариационную матрицу для 68 факторов. [c.302]

Поскольку предполагается, что между значениями f и е нет корреляции, матрица FET является нулевой, и EFT — также нулевая. Таким образом, уравнение сокращается до XFFT1T + ЕЕТ. [c.313]

МИНИМАКС [minimax] в теории решений, теории игр (матричных) — наименьший из всех максимальных элементов строк платежной матрицы. Критерий мини-макса в игре двух лиц с нулевой суммой симметричен критериюмаксимина и также означает осторожный подход игрока, выбирающего решение, которое гарантирует ему минимальный уровень [c.197]

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИГРЫ [re tangular games] — парные игры с нулевой суммой, имеющие седловую точку. Называются так, потому что их матрица игры прямоугольная. [c.295]

ЭЛЕМЕНТ ТАБЛИЦЫ МОБ (то же ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ МОБ) [l.-O. matrix element] — см. таблицу к ст. "Межотраслевой баланс, МОБ". Этот элемент имеет двойной смысл он выступает, с одной стороны, как часть затрат отрасли, с другой стороны — как часть выпуска продукции. Если между двумя отраслями, "встретившимися" в данном элементе, нет связи ни по сбыту, ни по затратам, значение элемента равно нулю. Он так и называется нулевой элемент. При этом, разумеется, не исключается существование связей косвенных, опосредованных через другие отрасли. (Подробнее см. Нулевые элементы матрицы МОБ.) Если прямые связи зафиксированы в элементе, он называется значащим. [c.427]

Встроенные функции Math ad всегда обращаются к глобальному определению. Неопределенным компонентам матрицы автоматически присваивается нулевое значение. [c.48]

Пищевая связь Омуль-нерпа определена как слабая, поэтому в данной модели соответствующие элементы матрицы Q были приняты нулевыми [Волерман и др., 1983]. [c.212]

Ненулевые элементы матрицы С приведены в табл. 3.3.10-3.3.13. Элементы вектора FL учитывают изъятие биоресурсов населением (лицензионная охота, браконьерство, сбор грибов, ягод, заготовка орехов). Коэффициенты вектора FL определялись по формуле F = Ri/L, где RI — величина в стоимостном выражении г-го вида биоресурса, добытого населением. Численные значения вектора FL даны в табл. 3.3.14. Нулевые значения элементов вектора FL соответствуют сценарным предположениям о запрете на незаконную добычу ценных видов биоресурсов (промысловой пушнины и нерпы). [c.218]

Ясно, что почти для всех (s, t] О (за исключением множества точек, принадлежащих ребрам параллелепипеда Р, где вектор ( , т) определяется неоднозначно, что, впрочем, непринципиально ввиду нулевой меры этого подмножества из О) в (га + 1) -мерном векторе ( , г] только одна из координат будет отличаться от 0 и равняться —1 для левых и нижней и +1 — для правых и верхней граней параллелепипеда Р. Другими словами, матрица B(s, t) — это всякий раз либо 7, либо Ai(s, t), г = 1, 2,. . . , т. Таким образом, матрица B(s, t) является симметричной почти всюду [c.336]

Смотреть страницы где упоминается термин Матрица нулевая

Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике (2002) — [ c.23 ]

Справочник по математике для экономистов (1987) — [ c.53 ]

Ссылка на основную публикацию
Непрерывность степенной функции доказательство
1. Непрерывность многочленов Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций,...
Не приходит код двухфакторной аутентификации iphone
Двухэтапная проверка Двухэтапная проверка является дополнительной мерой безопасности для учетной записи Apple ID. Она предназначена для предотвращения несанкционированного доступа к...
Не работает стрелочка на ноутбуке
Если в один прекрасный момент вы обнаружили, что не работают стрелки на клавиатуре ноутбука, тогда наша статья может быть полезной....
Ник для фотографа в инстаграме
В 2018 году количество пользователей Instagram превысило один миллиард. Уже более миллиарда вариаций ника занято. И с каждым годом решить...
Adblock detector