Непрерывность степенной функции доказательство

Непрерывность степенной функции доказательство

1. Непрерывность многочленов

Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х 2 – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x 2 , a 3 , …, x k на постоянные числа с1, с2, …, сk соответственно, получаем, что c1x, c2x 2 , …, ckx k – непрерывные функции. Сложив c + c1x + … + ckx k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

2. Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией R(x) называется отношение двух многочленов, P(x) и Q(x), т. е. R(x) = .

Во всех тех точках x, где Q(x) ≠ 0, функция R(x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x выполняется равенство Q(x) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x = 1 у функции . Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x = 0 у функции .

Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.

Теорема 14.1. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.

Для доказательства вспомним, что если f(x) строго монотонна на промежутке X, то, согласно следствию теоремы 10.2, в любой внутренней точке x этого промежутка существуют и . Если эти числа равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f(x0) и f(x)ЄC(x0). Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Y функции f(x) имеется “пробел” между точками и , опять же ввиду монотонности f(x). Но, по условию, множество значений Y образует промежуток, в котором не может быть “пробелов” по определению промежутка. Теорема доказана.

3. Непрерывность показательной функции

Функция y=a x монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0 x непрерывна на всей числовой оси.

4. Непрерывность логарифмической функции

Функция logax монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0 m

Функция y=x m определена при x>0, причем x m = e m ln x . По доказанному, z = m ln x — непрерывная функция при x>0, функция y = e z непрерывна при всех z, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x m — непрерывная при x>0 функция.

При вычислении предела было установлено, что если , то . Ввиду нечетности функций y=x и y= sin x, при . Из этого сразу следует, что при выполняется неравенство . Пусть x произвольная точка. Докажем, что . Это равносильно тому, что . В свою очередь, это равносильно тому, что . Так как, по доказанному выше, , . Кроме того, функция 2cos , очевидно, ограниченная. По свойствам бесконечно малых, получаем требуемое.

y

7. Функция y= cos x

Она непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции, так как , – непрерывная функция и y= sin z – тоже непрерывная функция.

Эта функция непрерывна во всех точках, кроме . В этих, последних, она имеет разрыв второго рода.

она непрерывна во всех точках, кроме точек x = pn, nÎz, где она имеет разрыв второго рода.

Она определена на отрезке [-1, 1], возрастает на нём и множеством её значений является отрезок [ ]. По доказанной теореме 14.1, y = arcsin x непрерывна на [-1, 1].

Читайте также:  Ошибка доступа к сохраненным паролям 106 яндекс

11. Непрерывность функции y = arccos x

Следует из тождества arcsin x + arccos x = , т.е. arccos x = — arcsin x — функция, также непрерывная на [-1, 1].

12. Непрерывность функции y = arctg x

Функция определена и возрастаёт на всей числовой прямой. Множество значений – интервал ( ). Поэтому y = arctg x непрерывна на всей числовой прямой.

13. Непрерывность функции y = arctg x.

Следует из равенства : arctg x + arctg x = .

Вопрос 15:СИМВОЛЫ , . ВЫЧИСЛЕНИЕ , ,

Пусть , определены в .

Определение 15.1. , , если существует , – б. м. при такая, что .

Определение 15.2. , , если существует , – ограниченная в , такая, что .

Примеры.

1) при , т.к. , а ; но

2) , при ∞, т.к. , и при ∞.

Вообще, если и , то и если и ∞ то .

Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов , :

Теорема 15.1.Если , , то ,
; все соотношения выписаны при .

Доказательство. Действительно, , , – б. м. при
и , а .В фигурных скобках стоят бесконечно малые при .

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 2022 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение степенной функции

Определение
Степенная функция с показателем степени p – это функция f ( x ) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f (0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Степенную функцию можно выразить через показательную и логарифм:
.
В качестве основания a можно взять любое действительное число . В математическом анализе наиболее удобно использовать число e :
2,718281828459045. .
Тогда ,
.

Выше мы представили степенную функцию как сложную, составленную из логарифмической и показательной функций. Поэтому ее свойства можно получить из свойств этих функций.

Свойства степенной функции

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность. Так, при четных функция четна:
.
При нечетных – нечетна:
.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Доказательство свойств

Для доказательства свойств, представим степенную функцию как сложную:
(2) .
Используем следующие обозначения:
(3) , где .
В качестве a возьмем произвольное число . При доказательстве будем использовать свойства показательной функции и логарифмической.

1.1. Найдем область определения. Логарифмическая функция определена при . Показательная функция определена для всех t . Поэтому степенная функция (2) определена при . Кроме этого, согласно определению, при , степенная функция определена в точке .

Исследуем на непрерывность. Поскольку логарифм и показательная функция непрерывны на своих областях определения, то, по теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция непрерывна при .

Рассмотрим случай . Покажем, что показательная функция непрерывна в точке слева. Применяя теорему о пределе сложной функции, имеем:
.
Здесь мы использовали общепринятые обозначения:
.
Таким образом, . Непрерывность в точке слева доказана.

1.4. Найдем пределы на границе области определения.
Пусть .
По определению, .
Находим предел при , аналогично предыдущему:
.
Пусть . Тогда
;
.

1.3. Докажем, что степенная функция строго монотонна на области определения.
При , функции и строго возрастают. Поэтому сложная функция также строго возрастает.
Поскольку и при , , то степенная функция строго возрастает на области определения .
При , функция строго убывает, а функция строго возрастает. Поэтому сложная функция строго убывает на области определения .

Читайте также:  Голденшара заблокирован как зайти

1.2. Найдем множество значений степенной функции .
Для этого рассмотрим ее на отрезке , где . Поскольку функция на этом отрезке строго монотонна, то она достигает минимума и максимума на его концах – в точках и . Как мы уже доказали, степенная функция непрерывна на своей области определения. Тогда, согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, она принимает все значения из отрезка , если и , если . Устремляя и , и используя найденные выше пределы получаем, что множеством значений показательной функции является множество неотрицательных чисел при , и множество положительных чисел при .

Свойства (1.1-4) доказаны.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-12-2018

Лекция 3. Непрерывность функции

Содержание лекции: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Асимптоты графика функции.

1. непрерывность функции в точке.

С понятием предела связано другое важное понятие математического анализа – понятие непрерывности функции.

Когда мы давали определение предела функции в точке х, то отмечали, что х – предельная точка области определения функции – может и не принадлежать этой области. Кроме того, когда говорили, что х стремится к х, не требовали, чтобы х = х, хотя при вычислении предела прежде всего вычисляли значение функции в предельной точке. Особый интерес представляет именно случай, когда хÎD(f) , х принимает значение х и .

Определение 3.1. Пусть х – точка из области определения функции. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х , если

.

Если это условие не выполняется, то функция имеет разрыв в точке х

Согласно теореме 2.1(критерию существования предела), существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f(x+0) и f(x–0) и эти пределы равны между собой. Тогда критерий непрерывности функции в заданной точке может быть сформулирован так.

Теорема 3.1.(Критерий непрерывности)

Функция f(x) непрерывна в точке х тогда и только тогда, когда функция определена в этой точке, существуют конечные односторонние пределы f(x+0) и f(x–0) и выполняется равенство

Отсюда следует алгоритм исследования непрерывности функции в заданной точке:

2) проверить существование конечных односторонних пределов f(x+0) и f(x–0);

Если все условия выполнены, то функция в точке х непрерывна.

Если хотя бы одно условие нарушено, то функция в точке х терпит разрыв.

Определение 3.2.

Точка х называется точкой разрыва первого рода (разрыва с конечным скачком), если существуют конечные односторонние пределы f(x+0) и f(x–0) , но f(x+0) ¹ f(x–0).

Точка х называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (например, равен ¥).

Точка х называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные пределы f(x+0) и f(x–0) и

Читайте также:  Как поменять батарейку в электронном термометре

Из сформулированного выше алгоритма и определения 3.2 следует, что если не выполнено первое условие алгоритма (функция в точке х не определена), то можно только сделать вывод, что в этой точке функция терпит разрыв. Характер же разрыва определяется при проверке условий 2 – 4 алгоритма.

если не выполнено условие 2, то разрыв – второго рода (рис 8 а, б, в).

Если не выполнено условие 3, а условие 2 выполнено, то разрыв – первого рода, при этом условие 1 может быть выполнено (рис.9, а, в), а может быть и не выполнено (рис.9, б). В случае разрыва первого рода число

называется скачком функции в точке х.

Рис.9

Если выполнены условия 2 и 3, но нарушено условие 4 или 1, то функция имеет устранимый разрыв (рис.10)

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем следующую терминологию. Если при своем изменении переменная х от значения х перешла к значению х1, то говорят, что х получила приращение

При этом функция у = f(x) также получит приращение

Определение 3. 3.Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х , если хÎ D(f) и малому приращению функции соответствует малое приращение аргумента, т.е.

.

Можно доказать, что определения 3.1 и 3.3 эквивалентны. Действительно, если, то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |xx| 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | 0 $ d > 0 такое, что "х, |xx|

Тогда , что, согласно определению 3.3, и означает непрерывность линейной функции в точке х, т.е. в произвольной точке области определения.

Аналогично, для функции у = sinx, xÎ R. получаем для любого х:

,

что также означает непрерывность функции у = sinx в произвольной точке х области определения.

Для остальных элементарных функций доказательство аналогично.

Если функции f(x) и g(x) определены в области D и непрерывны в точке хÎD, то в этой точке также непрерывны функции f(x) .g(x), f(x) ± g(x), , если g(x) ¹ 0.

Доказательство: Эти утверждения следуют непосредственно из определения непрерывной в точке функции и свойств пределов (теорема 2.5).

Например, если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х, то и . Тогда, по теореме 2.5,

,

что и означает непрерывность частного в точке х.

Непрерывность суммы, разности и частного доказать самостоятельно.

Пусть функция j(х) определена на множестве D, а функция f(у) определена на множестве Е(j). Если j(х) непрерывна в точке хÎD, а f(у) непрерывна в точке у = j(х), то сложная функция f(j(x)) непрерывна в точке х. (без доказательства)

Учитывая определение элементарной функции, из теорем 3.2, 3.3 и 3.4. получаем

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом, областью непрерывности всякой элементарной функции является ее область определения.

Из теоремы 3.4 следует еще одно важное свойство – возможность перехода к пределу под знаком функции:

.

Ссылка на основную публикацию
Не приходит код двухфакторной аутентификации iphone
Двухэтапная проверка Двухэтапная проверка является дополнительной мерой безопасности для учетной записи Apple ID. Она предназначена для предотвращения несанкционированного доступа к...
Настройте передатчик на wkz watch dogs 2
Для получения платины вам потребуется полностью пройти всю основную сюжетную линию игры, а также некоторое количество побочных заданий, все доп....
Нашивка воздушное превосходство battlefield 4
Всего надо выполнить 10 Задач. Советую для начала прокачаться хотя бы до 15-18 уровня, чтобы открыть доступ к задачам. В...
Не работает стрелочка на ноутбуке
Если в один прекрасный момент вы обнаружили, что не работают стрелки на клавиатуре ноутбука, тогда наша статья может быть полезной....
Adblock detector