Непрерывность степенной функции доказательство

1. Непрерывность многочленов

Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х 2 – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x 2 , a 3 , …, x k на постоянные числа с₁, с₂, …, с_k соответственно, получаем, что c₁x, c₂x 2 , …, c_kx k – непрерывные функции. Сложив c + c₁x + … + c_kx k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

2. Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией R(x) называется отношение двух многочленов, P(x) и Q(x), т. е. R(x) = .

Во всех тех точках x, где Q(x) ≠ 0, функция R(x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x выполняется равенство Q(x) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x = 1 у функции . Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x = 0 у функции .

Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.

Теорема 14.1. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.

Для доказательства вспомним, что если f(x) строго монотонна на промежутке X, то, согласно следствию теоремы 10.2, в любой внутренней точке x этого промежутка существуют и . Если эти числа равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f(x0) и f(x)ЄC(x0). Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Y функции f(x) имеется “пробел” между точками и , опять же ввиду монотонности f(x). Но, по условию, множество значений Y образует промежуток, в котором не может быть “пробелов” по определению промежутка. Теорема доказана.

3. Непрерывность показательной функции

Функция y=a x монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0 x непрерывна на всей числовой оси.

4. Непрерывность логарифмической функции

Функция log_ax монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0 m

Функция y=x m определена при x>0, причем x m = e m ln x . По доказанному, z = m ln x — непрерывная функция при x>0, функция y = e z непрерывна при всех z, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x m — непрерывная при x>0 функция.

При вычислении предела было установлено, что если , то . Ввиду нечетности функций y=x и y= sin x, при . Из этого сразу следует, что при выполняется неравенство . Пусть x произвольная точка. Докажем, что . Это равносильно тому, что . В свою очередь, это равносильно тому, что . Так как, по доказанному выше, , . Кроме того, функция 2cos , очевидно, ограниченная. По свойствам бесконечно малых, получаем требуемое.

7. Функция y= cos x

Она непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции, так как , – непрерывная функция и y= sin z – тоже непрерывная функция.

Эта функция непрерывна во всех точках, кроме . В этих, последних, она имеет разрыв второго рода.

она непрерывна во всех точках, кроме точек x = pn, nÎz, где она имеет разрыв второго рода.

Она определена на отрезке [-1, 1], возрастает на нём и множеством её значений является отрезок [ ]. По доказанной теореме 14.1, y = arcsin x непрерывна на [-1, 1].

11. Непрерывность функции y = arccos x

Следует из тождества arcsin x + arccos x = , т.е. arccos x = — arcsin x — функция, также непрерывная на [-1, 1].

12. Непрерывность функции y = arctg x

Функция определена и возрастаёт на всей числовой прямой. Множество значений – интервал ( ). Поэтому y = arctg x непрерывна на всей числовой прямой.

13. Непрерывность функции y = arctg x.

Следует из равенства : arctg x + arctg x = .

Вопрос 15:СИМВОЛЫ , . ВЫЧИСЛЕНИЕ , ,

Пусть , определены в .

Определение 15.1. , , если существует , – б. м. при такая, что .

Определение 15.2. , , если существует , – ограниченная в , такая, что .

Примеры.

1) при , т.к. , а ; но

2) , при ∞, т.к. , и при ∞.

Вообще, если и , то и если и ∞ то .

Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов , :

Теорема 15.1.Если , , то ,
; все соотношения выписаны при .

Доказательство. Действительно, , , – б. м. при
и , а .В фигурных скобках стоят бесконечно малые при .

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 2022 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение степенной функции

Определение
Степенная функция с показателем степени p – это функция f ( x ) = x p , значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p .
Кроме этого, f (0) = 0 p = 0 при p > 0 .

Степенную функцию можно выразить через показательную и логарифм:
.
В качестве основания a можно взять любое действительное число . В математическом анализе наиболее удобно использовать число e :
2,718281828459045. .
Тогда ,
.

Выше мы представили степенную функцию как сложную, составленную из логарифмической и показательной функций. Поэтому ее свойства можно получить из свойств этих функций.

Свойства степенной функции

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m , степенная функция определена и для отрицательных x . В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность. Так, при четных функция четна:
.
При нечетных – нечетна:
.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Доказательство свойств

Для доказательства свойств, представим степенную функцию как сложную:
(2) .
Используем следующие обозначения:
(3) , где .
В качестве a возьмем произвольное число . При доказательстве будем использовать свойства показательной функции и логарифмической.

1.1. Найдем область определения. Логарифмическая функция определена при . Показательная функция определена для всех t . Поэтому степенная функция (2) определена при . Кроме этого, согласно определению, при , степенная функция определена в точке .

Исследуем на непрерывность. Поскольку логарифм и показательная функция непрерывны на своих областях определения, то, по теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция непрерывна при .

Рассмотрим случай . Покажем, что показательная функция непрерывна в точке слева. Применяя теорему о пределе сложной функции, имеем:
.
Здесь мы использовали общепринятые обозначения:
.
Таким образом, . Непрерывность в точке слева доказана.

1.4. Найдем пределы на границе области определения.
Пусть .
По определению, .
Находим предел при , аналогично предыдущему:
.
Пусть . Тогда
;
.

1.3. Докажем, что степенная функция строго монотонна на области определения.
При , функции и строго возрастают. Поэтому сложная функция также строго возрастает.
Поскольку и при , , то степенная функция строго возрастает на области определения .
При , функция строго убывает, а функция строго возрастает. Поэтому сложная функция строго убывает на области определения .

1.2. Найдем множество значений степенной функции .
Для этого рассмотрим ее на отрезке , где . Поскольку функция на этом отрезке строго монотонна, то она достигает минимума и максимума на его концах – в точках и . Как мы уже доказали, степенная функция непрерывна на своей области определения. Тогда, согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значении, она принимает все значения из отрезка , если и , если . Устремляя и , и используя найденные выше пределы получаем, что множеством значений показательной функции является множество неотрицательных чисел при , и множество положительных чисел при .

Свойства (1.1-4) доказаны.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-12-2018

Лекция 3. Непрерывность функции

Содержание лекции: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Асимптоты графика функции.

1. непрерывность функции в точке.

С понятием предела связано другое важное понятие математического анализа – понятие непрерывности функции.

Когда мы давали определение предела функции в точке х, то отмечали, что х – предельная точка области определения функции – может и не принадлежать этой области. Кроме того, когда говорили, что х стремится к х, не требовали, чтобы х = х, хотя при вычислении предела прежде всего вычисляли значение функции в предельной точке. Особый интерес представляет именно случай, когда хÎD(f) , х принимает значение х и .

Определение 3.1. Пусть х – точка из области определения функции. Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х , если

.

Если это условие не выполняется, то функция имеет разрыв в точке х

Согласно теореме 2.1(критерию существования предела), существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f(x+0) и f(x–0) и эти пределы равны между собой. Тогда критерий непрерывности функции в заданной точке может быть сформулирован так.

Теорема 3.1.(Критерий непрерывности)

Функция f(x) непрерывна в точке х тогда и только тогда, когда функция определена в этой точке, существуют конечные односторонние пределы f(x+0) и f(x–0) и выполняется равенство

Отсюда следует алгоритм исследования непрерывности функции в заданной точке:

2) проверить существование конечных односторонних пределов f(x+0) и f(x–0);

Если все условия выполнены, то функция в точке х непрерывна.

Если хотя бы одно условие нарушено, то функция в точке х терпит разрыв.

Определение 3.2.

Точка х называется точкой разрыва первого рода (разрыва с конечным скачком), если существуют конечные односторонние пределы f(x+0) и f(x–0) , но f(x+0) ¹ f(x–0).

Точка х называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (например, равен ¥).

Точка х называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные пределы f(x+0) и f(x–0) и

Из сформулированного выше алгоритма и определения 3.2 следует, что если не выполнено первое условие алгоритма (функция в точке х не определена), то можно только сделать вывод, что в этой точке функция терпит разрыв. Характер же разрыва определяется при проверке условий 2 – 4 алгоритма.

если не выполнено условие 2, то разрыв – второго рода (рис 8 а, б, в).

Если не выполнено условие 3, а условие 2 выполнено, то разрыв – первого рода, при этом условие 1 может быть выполнено (рис.9, а, в), а может быть и не выполнено (рис.9, б). В случае разрыва первого рода число

называется скачком функции в точке х.

Если выполнены условия 2 и 3, но нарушено условие 4 или 1, то функция имеет устранимый разрыв (рис.10)

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем следующую терминологию. Если при своем изменении переменная х от значения х перешла к значению х₁, то говорят, что х получила приращение

При этом функция у = f(x) также получит приращение

Определение 3. 3.Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х , если хÎ D(f) и малому приращению функции соответствует малое приращение аргумента, т.е.

.

Можно доказать, что определения 3.1 и 3.3 эквивалентны. Действительно, если, то " e > 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x| 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | 0 $ d > 0 такое, что "х, |Dх | 0 $ d > 0 такое, что "х, |x – x|

Тогда , что, согласно определению 3.3, и означает непрерывность линейной функции в точке х, т.е. в произвольной точке области определения.

Аналогично, для функции у = sinx, xÎ R. получаем для любого х:

,

что также означает непрерывность функции у = sinx в произвольной точке х области определения.

Для остальных элементарных функций доказательство аналогично.

Если функции f(x) и g(x) определены в области D и непрерывны в точке хÎD, то в этой точке также непрерывны функции f(x) .g(x), f(x) ± g(x), , если g(x) ¹ 0.

Доказательство: Эти утверждения следуют непосредственно из определения непрерывной в точке функции и свойств пределов (теорема 2.5).

Например, если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х, то и . Тогда, по теореме 2.5,

,

что и означает непрерывность частного в точке х.

Непрерывность суммы, разности и частного доказать самостоятельно.

Пусть функция j(х) определена на множестве D, а функция f(у) определена на множестве Е(j). Если j(х) непрерывна в точке хÎD, а f(у) непрерывна в точке у = j(х), то сложная функция f(j(x)) непрерывна в точке х. (без доказательства)

Учитывая определение элементарной функции, из теорем 3.2, 3.3 и 3.4. получаем

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом, областью непрерывности всякой элементарной функции является ее область определения.

Из теоремы 3.4 следует еще одно важное свойство – возможность перехода к пределу под знаком функции:

.