Метод хорд и касательных в excel

Метод хорд и касательных в excel

Метод хорд [7] заключается в замене кривой y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) (см. рис. 2.6). Абсцисса точки пересечения прямой с осью OX принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая y нулю, найдем x:

.


Рис.2.6. Метод хорд

Алгоритм метода хорд:

3) Если f(xk)= 0 (корень найден), то переходим к 5).

5) Выводим значение корня xk.

Замечание.Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 2.6, a)) или вогнутый вниз (рис. 2.6, b)). Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.

Пример 2.6. Применим метод хорд к уравнению sin 5x + x 2 – 1 = 0 и отрезку [0,2; 0,3] для определения корня с точностью до ε = 0,001.

Решение. Проведем расчеты в программе Excel:

1) В ячейки A1:H1 запишем заголовки столбцов как в табл. 2.6;

2) В ячейку B3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2

Решение в программе Mathcad:

Как видим, результаты расчетов согласуются с предыдущими ответами.

Приведем программу, которая реализует метод хорд на языке C++:

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double hord(PF f,double a, double b,double eps, int Kmax);

double a, b, x, eps;PF pf; int Kmax;

x = hord(pf,a,b,eps, Kmax); cout > a;

double f(double x)<

double hord(PF f, double a, double b,double eps,int Kmax)<

double xk, xk1, xerr; int k = 0;

xk1 = a — f(a)*(b — a)/(f(b) — f(a));

if (f(xk1) == 0) break;

xerr = fabs(xk1 — xk); xk = xk1;

if (f(xk1)*f(b) > 0) b = xk1;

>while (xerr > eps);

Результат расчета для примера 2.6:

Press any key & Enter

Как видим, результат совпадает с предыдущими расчетами.

Дата добавления: 2015-04-25 ; Просмотров: 3919 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Читайте также:  Как настроить чувствительность микрофона в дискорде

Скачать:

Вложение Размер
материал для ученика 57.5 КБ
работа ученика 27 КБ

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

  • Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
  • Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Читайте также:  Acer aspire v3 q5wv1 характеристика

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

  1. а:=левая граница b:= правая граница
  2. m:= (a+b)/2 середина
  3. определяем f(a) и f(m)
  4. если f(a)*f(m)
  5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Метод Хорд

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции f(x), имеющим противоположные знаки. Через точки, соединяющие значения функций f(a) и f(b) на концах отрезка [a,b], проводят прямую пересекающую ось в точке .

Читайте также:  Как поменять язык в яндекс дзен

Рисунок 1.1.1 — Метод Хорд в MS Excel в режиме отображения значений

Рисунок 1.1.2 — Геометрический смысл метода Хорд

Рисунок 1.1.3 — Метод Хорд в MS Excel в режиме отображения формул

Метод Ньютона

В методе Ньютона для нахождения корня используют значения производной. Этот метод основан на замене исходной функции f(x) на каждом шаге поиска касательной, проведенной в этой точке. Пересечение касательной с осью х дает приближенное значение.

Значение xn-1 соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке xn пересекает ось х. Так как кривая f(x) отлична от прямой, то значение функции f(xn+1) не будет в точности равно нулю. Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо xn используют xn+1 будет меньше или равна числу е, т.е. ?xn-xn+1??е

Рисунок 1.2.1 — Метод Ньютона в MS Excel в режиме отображения значений

Рисунок 1.2.2 — Геометрический смысл метода Ньютона

Рисунок 1.2.3 — Метод Ньютона в MS Excel в режиме отображения формул

Метод половинного деления

Алгоритм решения задачи методом половинного деления состоит из следующих операций. трезок [a,b] делят пополам точкой с (с=(a+b)/2) и находят значение функции в точке с.Если f(c)=0,то корень уравнения соответствует точке с. Если f(c)?0, то можно сузить диапазон поиска корня. Если f(a)f(c) 0, то корень находится на отрезке [c,b], и точку с будем считать точкой a. Каждый такой шаг уменьшаем в два раза интервал, в котором находится корень уравнения f(x)=0. После нескольких шагов получится отрезок, длина которого будет меньше или равна числу е, т.е.?a-b ??е. Любая точка отрезка, например один из его концов ,подходит в качестве решения поставленной задачи.

Рисунок 1.3.1 — Метод Половинного деления в MS Excel в режиме отображения значений

Рисунок 1.3.2 — Геометрический смысл метода половинного деления

Рисунок 1.3.2 Метод половинного деления в MS Excel в режиме отображения формул

Ссылка на основную публикацию
Маска ввода в excel
4258 просмотра 2 ответа 1284 Репутация автора ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧИТАЙТЕ ВОПРОС, ПОЖАЛУЙСТА, ЭТО НАМЕРЕНИЯ ОТЛИЧАЮТ VBA. НЕ ЭКСКАЛЬНО Мне было дано...
Лучший просмотрщик фото для mac
Для просмотра изображений в Mac OS предусмотрено простое приложение «Фото», которое имеет ряд недостатков. В частности, в программе отсутствует возможность...
Мазда сх 5 отключить подушку безопасности
Обстоятельства, при которых система SRS может не сработать При тяжелых авариях, например, таких, которые описаны выше в разделе «Критерии срабатывания...
Математический альбом исаева решебник
Ольга Павлова Пособие «Математический альбом» В индивидуальной работе по математике, я очень часто использую вот такой математический альбом (производство и...
Adblock detector