Эквиваленция в логике примеры

Эквиваленция в логике примеры

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А≡В, А

В и выражается с помощью логической функции F10, которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 16).

Таблица 16 – Таблица истинности логической функции эквивалентности

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.

Для логических величин обычно используются три операции:

Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, Ʌ.

Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А & Ā=0

Закон исключённого третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

=А.

Законы де Моргана (общей инверсии)

= Ā & ;

= Ā .

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Читайте также:  Явление интерференции электронов можно объяснить

Закон коммутативности (переместительный)

В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение А & В = В & А.

Закон ассоциативности (сочетательный)

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

Закон дистрибутивности (распределительный)

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения относительно сложения

Дистрибутивность сложения относительно умножения

ab+ ас = а(b+с) — в алгебре

(А & В) v (A & С) =А & (B v С)

(A v В) & (A v С) = A v (B & С)

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение (А & В) v (А & ).

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) v (А & ) = А & (B v ).

По закону исключённого третьего В v =1, следовательно:

А&(В v )=А & 1=А.

Эквиваленция — это логическая операция, принятая в формализованных языках (см. Язык формализованный) для образования сложных высказываний (формул) из элементарных (простых) высказываний (см. Высказывание) и по смыслу равнозначная строгому условию «если…, то…», принятому в естественном языке (см. Язык). Эквиваленция читается: «A эквивалентно B», или «A равнозначно B», или «A то же самое, что B», или «A, если и только если B», или «A, тогда и только тогда, когда B»; записывается: А ≡ В, другое обозначение эквиваленции: AB (применяются также стрелки другой формы, но всегда указывающие на соотношение равнозначности); другие названия эквиваленции: эквивалентность, равнозначность.

Понятие эквиваленции сформировалось в процессе обособления языка логики и его последующей символизации (см. Логика символическая). В классической логике (см. Логика), формальной логике (см. Логика формальная), языках формальных теорий (см. Формализация) и языках программирования эквиваленция составляет одну из пяти наиболее распространённых логических связок, или логических операций (см. Логические операции), наряду с конъюнкцией (см. Конъюнкция), дизъюнкцией (см. Дизъюнкция), импликацией (см. Импликация) и отрицанием (см. Отрицание).

Суждение — форма мышления, посредством которой что-либо утверждается или отрицается о предмете, и которая обладает логическим значением истины или ложности.

Сложное суждение – суждение, образованное из простых посредством логических союзов конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности. Логический союз – это способ соединения простых суждений в сложное, при котором логическое значение последнего устанавливается в соответствии с логическими значениями составляющих его простых суждений

Эквивалентность – сложное суждение, которое принимает логическое значение истины тогда и только тогда, когда входящие в него суждения обладают одинаковым логически значением, т.е. одновременно либо истинны, либо ложны. Логический союз эквивалентности выражается грамматическими союзами «тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный». Символически записывается или pq (если и только если р, то q).

Логическое значение эквивалентности соответствует таблице истинности:

Истинность р достаточна для признания истинным q, и наоборот.

Отношения между ними характеризуется и как необходимое: ложность р служит показателем ложности q, а ложность q указывает на ложность р.

Пример: «Если и только если человек награжден медалями (р), то он имеет право на ношение».

20. Отрицание и двойное отрицание, условия истинности и правила вывода, свойственные отрицанию и двойному отрицанию. Понятие о правилах вывода в логике высказываний.

Отрицанием называется логическая операция, посредством которой образуется новое суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда исходное суждение ложно и, наоборот, логическое значение ложности тогда, когда исходное суждение истинно. Отрицание отрицания (двойное отрицание) есть возврат к исходному логическому значению. Логическое значение отрицания и двойного отрицания можно представить в виде матрицы, которая называется таблицей истинности.

Отрицаниеэто логическая операция, с помощью которой из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение P превращается в сложное, и если исходное простое суждение истинно, то новое сложное суждение ложно – «неверно, что P».

Двойное отрицаниеэто операция по отрицанию отрицательного суждения. Повторное отрицание ведет к утверждению или, иначе, отрицание отрицания

Рассмотрим правило вывода, т.е. введение, исключение в сложных суждениях.

Общее определение: каждое из правил вывода разрешает из посылки правил записать формулу того вида, что имеет заключение правила.

Введение конъюнкции – двухпосылочное правило, позволяющее объединить 2 формулы «a» и «b» в конъюнкцию. Исключение конъюнкции – однопосылочное правило, позволяющее выделять как левый, так и правый члены конъюнкции

Введение дизъюнкции – однопосылочное правило, утверждающее возможность присоединить к некоторой формуле «a» формулу «b»

Исключение дизъюнкции – двухпосылочное правило, утверждающее, что имея формулу a или b и формулу, отрицающую один из дизъюнктов, можно перейти к формуле 2-го дизъюнкта.

Исключение импликации: двухпосылочное правило, выражаемое утверждающим и отрицающим модусами условно категорического силлогизма.

Исключение отрицания – однопосылочное правило, позволяющее снимать двойное отрицание с любой формулы

Специфика правил введения правил импликации и отрицания в том, что в них включается формула «с», а это последняя посылка в рассуждении.

Введение импликации – однопосылочное правило, где на место антецедента ставится последняя посылка, а на место консеквента искомая формула.

Введение отрицания – двухпосылочное правило, позволяющее при выведении 2-х противоречащих формул перейти к формуле, отрицающей последнее рассуждение.

Введение эквиваленции – двухпосылочное правило, позволяющее из формул А и В, выражающих прямую и обратную условную связь перейти к заключению о их эквивалентности.

Исключение эквиваленции – однопосылочное правило, позволяющее из формулы эквивалентности А и В получить формулы, выражающие прямую и обратную зависимость А и В.

Наиме­но­ва­ние: Эквиваленция (образовано от латинского слова: aequivalens — равнозначный, равноценный, равносильный).
Опреде­ле­ние: Эквиваленция — это логическая операция, принятая в формализованных языках для образования сложных высказываний из простых и по смыслу равнозначная строгому условию «если…, то…», принятому в естественном языке.
Раздел: Концепты Концепты философского дискурса Концепты научного дискурса
Дискурс: Философия
Субдис­курс: Семантика Логическая семантика
Логика Логика формальная Логика символическая Логика высказываний
Связан­ные концепты: Логические операции Высказывание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Отрицание
Текст статьи: Авторы: Ф. И. Голдберг. Подготовка элект­рон­ной публи­ка­ции и общая редакция: Центр гума­нитар­ных техно­логий. Ответст­вен­ный редактор: А. В. Агеев . Инфор­ма­ция на этой стра­нице пери­оди­чески обнов­ля­ется. Послед­няя редакция: 08.02.2020.
Ссылка на основную публикацию
Что такое драйвер xps для принтера hp
Table of Contents: XPS - это способ получить больший контроль над тем, как документ выглядит как на экране, так и...
Что делать если project zomboid не запускается
18.01.2016 Большинство проблем связанных с java и запуском игры Project Zomboid решаются путем установкой JAVA с оффициального источника: https://www.java.com/ru/download/. Следующая...
Что делать если стим обновляется бесконечно
Частой проблемой многих пользователей Steam-клиента является ошибка при обновлении программы, из-за которой Стим и вовсе может быть недоступным для использования....
Что такое последовательный порт pci
Привет всем, кого интересует то, что такое PCI разъём. Думаю, таких много, потому что этот стандарт используется до сих пор....
Adblock detector